Часть 1

Шаг назад

Часть 1. Спин.

Физические эксперименты всегда подразумевают измерение каких-либо величин. В экспериментах по схеме Белла, мы будем измерять спин элементарных частиц, поэтому нам следует разобраться, что же это за штука такая.

В классической механике есть такая величина: момент импульса. Так же, как и просто импульс, момент импульса характеризует количество движения. Разница вот в чём: импульс характеризует поступательное движение тела в определённой системе отсчёта, а момент импульса - вращательное движение тела вокруг определённой оси вращения.

Вы знаете, конечно, что импульс определяется как произведение массы тела на его линейную скорость. А момент импульса определяется как произведение момента инерции тела на его угловую скорость, ту, которая измеряется в оборотах в секунду. Что такое момент инерции - я тут объяснять не буду, для нашей задачи это несущественно. Зато очень существенно вот что: момент импульса является величиной векторной, то есть, характеризуется не только абсолютным значением, но и направлением, которое всегда совпадает с направлением оси вращения. Тут вы можете спросить: но ведь у оси вращения два направления. Например, куда направлен вектор момента импульса вращающейся юлы-волчка, вверх или вниз? Отвечу: принято определять направление вектора момента импульса по "правилу буравчика". При вращении тела этот вектор направлен туда, куда вкручивался бы штопор, вращай мы его также. Так что, если юла раскручена по часовой стрелке, то считается, что вектор момента импульса направлен вниз. А если против часовой - тогда вверх.   

Момент импульса, как и импульс, подчиняется закону сохранения. То есть, если вращающееся тело не взаимодействует ни с какими другими телами, его момент импульса остаётся неизменным, что бы там не происходило внутри самого тела. Даже если тело самопроизвольно развалится на несколько частей, то суммарный момент импульса всех осколков будет равен моменту импульса развалившегося тела. Причём, момент импульса не меняется не только по абсолютной величине, но и по направлению. Это можно наблюдать на примере той же юлы: пока она достаточно быстро крутится, её ось вращения направления не меняет. Повторяю: если тело ни с чем не взаимодействует, то его момент импульса сохраняется. Но если на тело воздействовать извне, то его момент импульса изменить можно, как по абсолютной величине , так и по направлению.  

Спин элементарной частицы – это её момент импульса. Можно считать, что частица – это шарик, который вращается вокруг собственной оси, как, например, наша планета. Такое представление, вообще-то, довольно примитивно, но для нашей задачи сгодится. Надо только понимать, что спин, в отличие от классического момента импульса – величина квантовая, и поэтому обладает некоторыми специфическими особенностями, которые мы ниже рассмотрим.

Момент импульса тела может быть любым как по направлению, так и по абсолютной величине. Спин частицы по абсолютной величине может принимать только одно из небольшого набора значений (количество возможных значений определяется типом частицы). Иными словами, спин квантуется. А вот направление спина частицы может быть любым. Стало быть, измерять мы будем именно направление спина.

Ну что же,  перейдём к "практической" части. Нет, это ещё не белловские эксперименты, для начала мы проделаем несколько простых опытов, чтобы лучше понять свойства спина и поупражняться с его измерением.

Для измерения спина частиц используют устройство, которое называется "прибор Штерна-Герлаха", по фамилиям его изобретателей. Дальше мы будем называть это устройство сокращено: "ПШГ". Кратко рассмотрим принцип действия прибора.

Элементарная частица имеет электрический заряд* и вращается, а значит, она представляет собой маленький магнит. Другими словами, если у частицы есть спин, значит, у неё есть и магнитные свойства, или, говоря более научно – магнитный момент. Вот этот-то магнитный момент вращающейся частицы и использует ПШГ. Устройство ПШГ, а также прочее оборудование, необходимое для опытов, показаны на рисунке 1.1.



 Собственно, сам ПШГ состоит из двух магнитов. Верхний и нижний магниты имеют различную форму, благодаря чему магнитное поле в промежутке между ними неоднородно. Также на рисунке изображены источник частиц, (надо же их откуда-то брать?) и экран, который регистрирует точку попадания частицы. Например, в качестве экрана может использоваться фотопластинка: попавшая в неё частица "засвечивает" точку попадания.

Для наших дальнейших опытов решающее значение будет иметь ориентация самого прибора, а также спинов частиц в пространстве. Поэтому на рисунке показана система координат XYZ. Ориентацию ПШГ мы будем показывать толстой серой стрелкой. В данном случае прибор ориентирован вдоль положительного направления оси Z. Направление векторов спинов (для компактности будем говорить просто «направление спинов») частиц будем показывать тонкой черной стрелкой. На рисунке спин «красной» частицы направлен вверх, в направлении +Z, а спин «синей» частицы направлен вниз, в направлении –Z .    

Итак, источник выпускает частицу в направлении оси X. Затем частица попадает в ПШГ и проходит через зазор между магнитами. Если частица не обладает спином, то магнитное поле на неё никак не влияет, она движется по прямой и попадает в центр экрана – его мы приняли за начало координат. Траектория такой частицы показана на рисунке зелёной линией. На самом деле мы тут будем «работать» только с частицами, обладающими ненулевым спином, так что зелёную траекторию я нарисовал чисто для того, чтобы обозначить центр экрана.

Если спин направлен вверх, то неравномерное магнитное поле в зазоре отклоняет частицу вверх (красная траектория). Если спин направлен вниз, то частица отклоняется вниз (синяя траектория). Таким образом, наблюдая на экране точку попадания частицы, мы определяем, как был направлен её спин – вверх или вниз.

Мы рассмотрели случаи, когда спин частицы направлен вдоль оси Z. То есть, направление спина совпадает с ориентацией прибора или строго противоположно ей. Но ведь спин частицы может быть ориентирован в пространстве как угодно. Возникает вопрос: а что же будет с частицей, если её спин и ориентация ПШГ не совпадают? Тут классическая физика и квантовая механика дают разные ответы.

Если рассматривать ситуацию чисто «классически», и представлять себе частицу как вращающийся заряженный шарик, то ответ будет такой: отклонение частицы пропорционально проекции её спина на направление ориентации прибора (в нашем случае это то же самое, что ось Z). То есть, максимальное отклонение точки попадания от центра экрана будет у тех частиц, у которых спин направлен параллельно оси Z (Рисунок 1.2-a, точка «Zmax»). Разумеется, если спин параллелен оси Z, но направлен в противоположную сторону, то частица попадёт в точку «–Zmax».

Если спин частицы направлен под углом у оси Z, частица должна попасть в точку где-то между «–Zmax» и «Zmax» (Рисунок 1.2-b). Если же спин частицы ориентирован   перпендикулярно оси Z, например, вдоль оси Y, то частица вообще не должна отклоняться от центра (Рисунок 1.2-c).

Отклонения частицы по оси Y при такой ориентации прибора (напоминаю – она показана толстой серой стрелкой) быть не должно.



 Ось X на рисунке 1.2 и на следующих рисунках не показана, чтобы не загромождать. Можете считать, что она направлена от нас прямо вглубь рисунка. Места попадания частиц в регистрирующий экран показаны красной звёздочкой. Направление спина показано так, как мы условились раньше: тонкой чёрной стрелкой.

Квантовая механика предсказывает совершенно другой результат: все частицы будут отклоняться на максимально возможное расстояние и попадать только в одну из двух точек, причём, линия, походящая через эти две точки и центр экрана, будет параллельна ориентации прибора. В нашем случае, когда ПШГ ориентирован параллельно оси Z, это будут точки либо «Zmax», либо «–Zmax». В этом, собственно, и заключается «квантовость». Если в «классике» мы можем намерять любое отклонение, а значит и направление момента импульса, то в квантовой механике направление спина «квантуется»: есть только два возможных результата измерения.

Тут, чтобы вас не запутать на будущее, я должен оговорить вот что: на самом деле два результата измерения мы получим только на частицах со спином 1/2. К таким частицам относятся, в частности, электроны, протоны, нейтроны и некоторые другие. Для прочих частиц возможны три результата, четыре, пять и так далее, но в любом случае число возможных результатов будет конечным. Чтобы не делать в дальнейшем таких оговорок, давайте определимся: мы будем в наших экспериментах работать только с протонами.

Итак, классическая физика и квантовая механика предсказывают разные результаты опытов с протонами. Ну что же, вооружившись банальностью «опыт – критерий истины» приступим к экспериментальной проверке.

Установка для опыта у нас уже есть, она показана на рисунке 1.1. Только там у нас был «источник частиц», теперь это будет источник конкретно протонов.   

Предполагаем, что источник выпускает протоны со случайно ориентированным спином. Значит, если права классическая физика, то протоны должны попадать в экран со случайным отклонением по оси Z в диапазоне от «–Zmax» до «Zmax». Тогда, если мы выпустим достаточно много протонов, то картинка на экране должна будет выглядеть так, как показано на рисунке 1.3-a. То есть, будет сплошная полоса попаданий.

Ну а если права квантовая механика, то после серии «выстрелов» на экране будет картинка как на рисунке 1.3-b: только два варианта попаданий. Причём, попадания распределятся примерно пополам: половина вверх, половина вниз.



 В реальности такой эксперимент даёт картинку в полном соответствии с предсказаниями квантовой механики, как на рисунке 1.3-b. Это один из тех экспериментов, о которых я говорил во введении: с точки зрения классической физики его результаты объяснить не удаётся, а квантовая механика объясняет их «на раз».

Сторонники классического подхода тут могут «уцепиться за соломинку»: мол, мы предположили, что спин протонов, испускаемых источником, ориентирован случайно, а вдруг это не  так? Возможно, источник выпускает протоны, ориентированные только вертикально, вдоль оси Z. В таком случае «классический» расчёт даст такую же картину распределения попаданий, как и квантовый (рисунок 1.3-b).

Хорошо, мы это можем легко проверить. Повернём ПШГ на некоторый угол вокруг оси X и проделаем опять длинную серию «выстрелов». Если версия «классиков» верна, то мы увидим на экране картинку типа 1.4-a. Ну а если всё же правда на «квантовой» стороне, то картинка будет как 1.4-b.


 

Я пока не буду объяснять, почему классический (a) и квантовый (b) расчёты дадут при такой ориентации прибора именно эти картины распределения попаданий. Если вам непонятно, то предлагаю тут притормозить и разобраться самостоятельно. Вся необходимая для этого информация изложена выше и даже выделена жирным курсивом. Также вам помогут, надеюсь, дополнительные построения, нарисованные пунктирными линиями.

Разобрались? Отлично, тогда едем дальше. Проделав эксперимент с «повёрнутым» ПШГ (на рисунке 1.4 он повёрнут вокруг оси X на 60 градусов вправо), убеждаемся, что результаты опыта совпадают с квантовыми предсказаниями: половина (приблизительно) протонов попадает в точку A1, половина – в точку A2. Для верности можем провести эксперименты с разными углами поворота ПШГ и убедиться: результат всегда таков, как предсказывает квантовая механика. Заодно мы убедимся в том, что наше предположение о случайной ориентации спинов на входе прибора было правильным.

Итак, констатируем важный вывод, на который мы будем ссылаться в дальнейших рассуждениях:

Утверждение 1.1.

Вне зависимости от того, с каким направлением спина протон входит в измерительный прибор, мы получим только один из двух возможных результатов измерения: направление спина протона либо совпадает с ориентацией прибора, либо строго противоположно ему.

Для порядка отмечу, что в нашем случае измерительным прибором является устройство, включающее ПШГ и регистрирующий экран. Однако, утверждение 1.1. верно и для любого другого устройства, измеряющего направление спина. Но мы будем и дальше пользоваться прибором Штерна-Герлаха. Только вот, в свете утверждения 1.1., регистрирующий экран нам больше не нужен. Поскольку из ПШГ все протоны выходят только по одной из двух возможных траекторий, мы можем вместо экрана поставить на каждой траектории детектор протонов. Теперь схема эксперимента, показанного на рисунке 1.1, будет выглядеть так, как на рисунке 1.5-a.



Детекторы обозначены как D+ (плюс – детектор) и D–  (минус – детектор). В плюс – детектор будут попадать все протоны, направление спина которых совпадает с ориентацией прибора. В минус – детектор попадут все протоны с противоположной прибору ориентацией. 

Разумеется, если мы теперь захотим покрутить ПШГ вокруг «линии выстрела», показанной на рисунке зелёным пунктиром, то мы должны будем соответствующим образом переместить и детекторы, иначе все «выстрелы» уйдут в «молоко». Чтобы не мучится с определением нового положения детекторов, мы можем просто объединить ПШГ и детекторы в единую конструкцию и вращать её всю целиком так, как нам требуется. Дальше при описании опытов я буду эту измерительную конструкцию изображать так, как показано на рисунке 1.5-b.

Итак, мы выяснили, что ПШГ направляет входные протоны по одной и из двух возможных траекторий. Дальше эти траектории будем называть так: "плюс-канал" и "минус-канал". Выше, на рисунках 1.11.5, протон в плюс-канале (красный) я изобразил со спином вверх, а протон в минус-канале (синий) со спином вниз. Но это было сделано, так сказать, "авансом", на самом деле мы пока не уверены, что протоны выходят из прибора именно в таких состояниях. Есть ведь серьёзные поводы для сомнений.

Во-первых, может быть, вообще никакого спина  у протона не существует, а  ПШГ просто разбрасывает протоны по каналам каким-то случайным или псевдослучайным образом, как, например, фонтан разбрасывает водяные брызни? 

Во-вторых, в "классическом" случае, если бы мы действительно имели дело с вращающимися заряженными шариками без всяких квантовых свойств, шарик отклонялся бы в неравномерном магнитном поле, но его момент импульса при этом бы не изменился: какой на входе, такой и на выходе. Другими словами, "классическое" измерение не меняет измеряемой величины. Может быть и в квантовом случае такая картина: с каким протон спином вошел в прибор, с таким и вышел?

Для начала проведём эксперимент, который должен развеять наши сомнения на счёт "во-первых" (рисунок 1.6).



Теперь у нас в схеме три ПШГ, они обозначены как П1, П2, П3. Обратите внимание: на выходах П1 детекторов нет. Протоны, прошедшие через плюс-канал П1, сразу попадают в П2, и далее в один из двух детекторов: D2+ или D2. Аналогично, протоны из минус-канала П1 попадают в П3, а затем в D3+ или D3

"Отстреляем" серию протонов и убедимся, что в такой конфигурации опыта на каждый "выстрел" срабатывает только один из двух детекторов: либо D2+, либо D3. Детекторы D2 и D3+ не срабатывают никогда. Получается вот что: если протон оказался в плюс-канале П1, то он гарантировано попадает и в плюс-канал П2. Аналогично, из минус-канала П1 протон гарантировано попадает в минус-канал П3. Очевидно, что если бы ПШГ действительно разбрасывал протоны по каналам беспорядочно, то такого результата мы бы не получили. Протоны на выходах П1 были бы ориентированы так же случайно, как и на его входе, и регистрировались бы с равной вероятностью всеми четырьмя детекторами.  Так что мы можем уверенно утверждать: протон несёт в себе какой-то параметр состояния, согласно которому ПШГ "сортирует" протон в плюс- или минус-канал. Учитывая результаты предыдущих экспериментов, мы констатируем некоторое сходство это параметра с классическим моментом импульса. Поэтому продолжаем называть этот параметр спином и рисовать протон со стрелочкой. Да, а вот эта куча стрелочек, проткнувшая на рисунке 1.6 зелёный протон, будет означать, что спин протона не определён.

Чтобы дальше исследовать свойства спина, проделаем следующий эксперимент.  (рисунок 1.7).



Прибор П1 у нас жестко зафиксирован и работает в качестве источника упорядоченных протонов. Так что в П2 попадают только такие протоны, которые гарантированно пройдут через ПШГ с вертикальной ориентацией. Ну а П2 может поворачиваться вокруг оси, показанной на рисунке штрихпунктирной линией на любой угол α. Теперь посмотрим, как будут срабатывать детекторы при разных значениях угла α. Разумеется, в зачёт пойдут только те попытки, когда срабатывает хотя бы один детектор. Если не ни один не срабатывает, значит, протон в П1 ушел в минус-канал, этот случай нас сейчас не интересует.

Для угла в  срабатывать будет только плюс-детектор D2+ (это мы уже видели в предыдущем эксперименте, рисунок 1.6). Теперь повернём измеритель на  и произведём серию "выстрелов". Здесь мы увидим, что иногда, очень редко, срабатывает минус-детектор D2. Но "иногда" нас не устраивает, нам нужно определить вероятности срабатывания плюс-детектора или минус-детектора. Мы их легко посчитаем по следующим формулам.

Вероятность срабатывания плюс-детектора D2+:


 
где:

N(+) - количество срабатываний детектора D2+;

N() - количество срабатываний детектора D2.

Соответственно, вероятность срабатывания минус-детектора D2:

Как не трудно догадаться, вероятности P(+) и P() в сумме всегда дают единицу

Итак, мы получили вероятности срабатывания того или иного детектора при α = 1°. Аналогичным образом мы можем проделать опыт для любых значений угла, и получить графики зависимости вероятностей P(+) и P() от угла α. Эти графики будут выглядеть так (рисунок 1.8).

А вот формулы этих зависимостей:

Утверждение 1.2:


      
Как видите, утверждение 1.2. сформулировано без слов. Тем не менее, смысл его вполне ясен, а кому не ясен - смотрите на графики.

Отметим «особые» случаи:

Если угол между ориентациями приборов П1 и П2 равен  (направления совпадают), то протон гарантировано попадает в плюс-детектор (вероятность этого события равна единице) и никогда не попадёт в минус-детектор.

Если угол равен 180° (направления противоположны), то ситуация обратная: будет срабатывать только минус-детектор.

Если угол равен 90° или 270° градусов (ориентации приборов перпендикулярны), то вероятности срабатывания плюс-детектора и минус-детектора одинаковы и равны 0,5.

При всех прочих значениях углов вероятности срабатывания плюс-детектора и минус-детектора будут различными, но в сумме они всё равно дадут единицу.

Для объяснения этих результатов можно предложить две версии.

Версия 1.  Спин протона влияет на его "сортировку" при прохождении ПШГ. Но сам спин при этом не меняется. 

Версия 2.  Спин протона не только влияет на его "сортировку" при прохождении ПШГ, но и меняется при этом:  в плюс-канале направление спина совпадает с ориентацией ПШГ, а в минус-канале направления противоположны.

Очередной эксперимент (рисунок 1.9) поможет нам выяснить, какая из этих версий правильная.  

Засчитывать опять будем только результативные "выстрелы", когда срабатывает хотя бы один детектор. Результативных "выстрелов" будет примерно четверть: половину протонов отсеет  в минус канал П1, ещё половину - П2

Если верна версия 1 (спин протона при прохождении ПШГ не меняется), то будет срабатывать только плюс-детектор. Надо объяснять почему? 

Если верна версия 2 (направление спина протона на плюс-выходе ПШГ совпадает с ориентацией ПШГ), то примерно в половине результативных попыток будет срабатывать плюс-детектор, а в половине - минус детектор. 

Так вот, если мы реально проведём такой эксперимент, то увидим, что с равной вероятностью срабатывают оба детектора.  Значит, верна версия 2. 

Вернёмся чуть назад, к предыдущему опыту (рисунок  1.7) и его результатам (рисунок 1.8). Теперь мы точно знаем, что в плюс-канале П1 оказываются только те протоны, направление спина которых совпадает с ориентацией П1. А значит, утверждение 1.2 (формулы (ф. 1.3), (ф. 1.4)) определяют вероятности попадания протона в плюс-канал или в минус-канал в зависимости от угла между направлением спина протона и ориентацией прибора. 

Кстати, обращаю внимание: утверждение 1.2. исчерпывающе объясняет результаты всех проделанных нами опытов, а также «поглощает» утверждение 1.1, сделанное в предыдущей части.

Формулы из утверждения 1.2 - типичный пример того, какие предсказания  даёт квантовый подход. Как уже было сказано во введении, квантовая теория принципиально не позволяет точно вычислить результат эксперимента, но может точно вычислить вероятность того или иного результата. Вот и в нашем случае невозможно вычислить, какой детектор сработает, если угол α не равен  или 180°.

Теперь мы можем сформулировать обозначенную во введении проблему (детерминизм или случайность) на нашем конкретном примере. Посмотрите ещё раз на ситуацию, когда направление спина протона и ориентация прибора не параллельны. В этом случае может сработать либо плюс-детектор, либо минус-детектор. Классический (детерминистский) и квантовый (случайный) подход объясняют эту неопределённость по разному.

Классический подход: в системе, включающей протон и измеритель спина, заключены скрытые параметры, предопределяющие тот или иной результат измерения. Нам же выбор результата кажется случайным только потому, что мы этих параметров не знаем. Или, более философично: в системе протон - измеритель "записан" (или, если угодно, "запрограммирован") только один вариант будущего состояния системы, именно он и будет реализован.

Квантовый подход: в системе, включающей протон и измеритель спина, предопределено то, что мы получим один из двух результатов измерения. Также предопределена вероятность получения того или иного результата. Но выбор результата абсолютно случаен. Опять же, философично: в системе протон - измеритель "записаны" два варианта будущего состояния системы и вероятности реализации каждого из них. Но какой из них реализуется – это не предопределено.

В самых популярных статейках такой квантовый подход принято «объяснять» ещё следующим образом: протон перед попаданием в измеритель находится в двух состояниях одновременно (погуглите на тему «кот Шредингера»). А в измерителе протон скачкообразно переходит в одно из этих состояний. В более серьёзных статьях говорят, что перед попаданием в измеритель протон находится в суперпозиции  состояний. А при измерении происходит разрушение суперпозиции (оно же – коллапс волновой функции, оно же – редукция).

Какой из двух подходов правильный – классический или квантовый? Как раз это мы и будем выяснять в «следующих сериях».

______________

*Некоторые электрически нейтральные частицы, нейтрон, например, тоже обладают магнитным моментом. Но физический механизм этого явления мы тут рассматривать не будем, это к нашей теме не относится. 

Шаг вперёд

 
Бесплатный конструктор сайтов - uCoz
Яндекс.Метрика